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2019_2020学年高中数学第4章函数应用1函数与方程1.2利用二分法求方程的近似解课件北师大版必修1_图文

第四章 函数应用
§1 函数与方程 1.2 利用二分法求方程的近似解

学习目标
1.根据具体函数的图像,借助计 算器用二分法求相应方程的近似 解.(重点) 2.学习利用二分法求方程近似解 的过程和方法.(难点)

核心素养 1.通过具体函数图像,借助计算 器用二分法求相应方程的近似 解,培养数学运算素养. 2.通过学习利用二分法求方程近 似解的过程和方法,提升直观想 像、逻辑推理素养.

自主预习 探新知

利用二分法求方程的近似解 阅读教材P117~P119整节课的内容,完成下列问题. (1)二分法的概念 对于图像在区间[a,b]上连续不断且满足f(a)·f(b)<0的函数y= f(x),每次取区间的_中__点___,将区间一分为二,再经比较,按需要留 下其中一个小区间的方法称为二分法.

(2)用二分法求方程的近似解的过程

在图中: “初始区间”是一个两端函数值 反 号的区间; “M”的含义是:取新区间,一个端点是原区间的 中点 ,另一 端是原区间两端点中的一个,新区间两端点的函数值反号; “N”的含义是:方程解满足要求的 精度 ; “P”的含义是:选取区间内的任意一个数作为方程的近似 解.

思考:用二分法求函数近似零点时,函数应满足哪些条件?
[提示] (1)f(x)在区间[a,b]上的图像连续; (2)在区间[a,b]端点的函数值f(a)·f(b)<0.

1.下列函数图像与x轴均有交点,其中能用二分法求零点的是 ()
C [C中函数的零点是变号零点,故选C.]

2.在用二分法求函数f(x)的一个零点时,经计算,f(0.64)<0,

f(0.72)>0,f(0.68)<0,若精确度为0.1,则函数f(x)的零点近似值可

为( )

A.0.64

B.0.65

C.0.70

D.0.73

C [∵f(0.72)>0,f(0.68)<0,∴f(x)在(0.68,0.72)内至少有一个零 点,又|0.72-0.68|<0.1,故其零点的近似值可为0.70.]

3.在下面给出的四个函数中,需要用二分法求其零点的是 ________.
①y=x+π;②y=3x-1;③y=ln x;④y=????12????x-x. ④ [①②③可直接解出来,不需要用二分法去求,而④无法直 接解出来,故应填④.]

4.用“二分法”求2x+log2x-4=0在区间(1,3)内的根.如果取 区间的中点为x0=2,那么下一个有根的区间是________.
(1,2) [令f(x)=2x+log2x-4,则f(1)=-2<0,f(2)=1>0, 由零点存在性定理知,f(x)在区间(1,2)内至少存在一个零点. 所以,下一个有根的区间是(1,2).]

合作探究 攻重难

二分法概念的理解 【例1】 下列图像与x轴均有交点,其中不能用二分法求函数 零点的是( )

A

B

C

D

[思路探究] 零点附近连续 → 零点左右函数值异号
A [按定义,f(x)在[a,b]上是连续的,且f(a)·f(b)<0,才能不 断地把函数零点所在的区间一分为二,进而利用二分法求出函数的 零点.故结合各图像可得选项B、C、D满足条件,而选项A不满 足,在A中,图像经过零点x0时,函数值不变号,因此不能用二分法 求解.故选A.]

1.准确理解“二分法”的含义.二分就是平均分成两部分.二 分法就是通过不断地将所选区间一分为二,逐步逼近零点的方法, 找到零点附近足够小的区间,根据所要求的精度,用此区间的某个 数值近似地表示真正的零点.

2.“二分法”与判定函数零点的定义密切相关,只有满足函数 图像在零点附近连续且在该零点左右函数值异号才能应用“二分 法”求函数零点.

1.(1)下列函数中,能用二分法求零点的为( )

A

B

C

D

(2)用二分法求函数f(x)在区间[a,b]内的零点时,需要的条件是

() ①f(x)在区间[a,b]是连续不断的;②f(a)·f(b)<0;③f(a)·f(b)>

0;④f(a)·f(b)≥0.

A.①②

B.①③

C.①④

D.①②③

(1)B (2)A [(1)函数图像连续不断,函数零点附近的函数值异 号,这样的函数零点才能使用二分法求解,观察四个函数图像,只 有B选项符合.
(2)由二分法的意义,知选A.]

利用二分法求方程的近似解 【例2】 求方程lg x=????12????x-1的近似解(精度为0.1).

[解]

如图所示,由函数y=lg

x与y=

??1?? ??2??

x-1的图像可知,方程

lg x=????12????x-1有唯一实数解,且在区间[0,1]内.

设f(x)=lg x-????12????x+1,f(1)=12>0,用计算器计算,列表如下: 取值区间 中点值 中点函数近似值 区间长度

(0,1) 0.5

-0.008 1

1

(0.5,1) 0.75

0.280 5

0.5

(0.5,0.75) 0.625

0.147 5

0.25

(0.5,0.625) 0.562 5 0.073 0

0.125

由于区间(0.5,0.625)的长度为 0.125<0.2,此时该区间中点 0.562 5 与真正零点的误差不超过 0.1,所以函数 f(x)的零点近似值为 0.562 5, 即方程 lg x=????12????x-1 的近似解为 x≈0.562 5.

用二分法求方程的近似解,首先要选好计算的初始区间,这个 区间既要包含所求的根,又要使其长度尽量小,其次要依据给定的 精度,及时检验所得区间端点的近似值是否达到要求?达到给定的精 度?,以决定是停止计算还是继续计算.

2.利用计算器,求方程lg x=2-x的近似解.(精度为0.1)

[解] 作出 y=lg x,y=2-x 的图像,可以发现,方程 lg x=2-x

有唯一解,记为 x0,并且解在区间[1,2]内. 用二分法求解,列表如下:

设 f(x)=lg x+x-2

中点值

中点(端点) 函数值

取值区间

f(1)<0,f(2)>0

(1,2)

x1=1+2 2=1.5

f(1.5)<0

(1.5,2)

x2=1.52+2=1.75

f(1.75)<0

x3=1.752+2=1.875

f(1.875)>0

x4=1.75+21.875=1.812 5

f(1.812 5)>0

因为|1.812 5-1.75|<0.1,

所以原方程的近似解为 1.8 125.

(1.75,2) (1.75,1.875) (1.75,1.812 5)

有解区间的选取与二分次数的确定 [探究问题]
1.利用二分法求方程log2x+x-2=0的近似解时,如何选取初 始区间?
提示:由log2x+x-2=0,得log2x=-x+2.

画出函数y=log2x与y=-x+2的图像. 则两图像的交点的横坐标即为方程的解. 根据交点的位置,可选取有解区间[1,2].

2.对于探究1中的问题,若选取有解区间[1,2],精度为0.01, 则二分的次数最少为多少次?
提示:由|2-2n 1|≤0.01,得2n≥100. 又26<100,27>100,故至少二分7次.

【例3】 指出方程x3-x-1=0的根所在的长度不超过1的大致 区间.
[思路探究] 可先画出方程所对应的函数图像,观察其交点位 置,确定有解区间.

[解] 方程x3-x-1=0,即x3=x+1. 令F(x)=x3-x-1,f(x)=x3,g(x)=x+1. 在同一平面直角坐标系中,函数f(x)与g(x)的图像如下图,显然 它们只有1个交点.

两函数图像交点的横坐标就是方程的解. 又F(1)=-1<0,F(2)=5>0, 所以方程x3-x-1=0的根在区间(1,2)内.

(变条件、变结论)对于本例的方程,若选取有解区间是[1,2], 精度为0.001.试求需要二分的最少次数?

[解] 设二分的次数为n,则 |2-2n 1|≤0.001, 2n≥1000, 又29<1000,210>1000.且y=2n是递增的. 则最少二分的次数为10.

1.在用二分法求方程解的过程中,初始区间的选取,往往需要 通过分析函数的性质和试验估计.初始区间可以选的不同,不影响 最终计算结果,只是取不同的初始区间,其计算有简繁之分.
2.为了更清楚地发现方程的近似解所在的区间,最好将各区间 的端点,端点处的函数值以及区间长度列在一个表格中.

1.二分法就是通过不断地将所选区间一分为二,使区间的两个 端点逐步逼近零点,直至找到零点附近足够小的区间,根据所要求 的精度,用此区间的某个数值近似地表示真正的零点.
2.并非所有函数都可以用二分法求出其零点,只有满足: (1)函数图像在区间[a,b]上连续不断; (2)f(a)·f(b)<0. 上述两条的函数,方可采用二分法求得零点的近似值.

当堂达标 固双基

1.思考辨析 (1)任何函数的零点都可以用二分法求得.( ) (2)用二分法求出的方程的根都是近似解.( ) (3)当方程的有解区间[a,b]的区间长度b-a≤ε(精度)时,区间 (a,b)内任意一个数都是满足精度ε的近似解.( )
[答案] (1)× (2)× (3)√

2.用二分法求函数f(x)=3x-7的零点时,初始区间可选为

() A.(-1,0)

B.(0,1)

C.(1,2)

D.(2,3)

C [f(-1)=3-1-7=13-7=-230<0, f(0)=30-7=1-7=1-7=-6<0, f(1)=31-7=-4<0, f(2)=32-7=9-7=2>0, 故函数f(x)的零点在区间(1,2)上,故初始区间可选为(1,2).]

3.若函数 f(x)=x3+x2-2x-2 的一个正数零点附近的函数值用

二分法计算,其参考数据如下:

f(1)=-2

f(1.5)=0.625

f(1.25)=-0.984

f(1.375)=-0.260 f(1.437 5) =0.162 f(1.406 25) =-0.054

那么函数零点的一个近似解(精度为 0.1)为( )

A.1.25

B.1.375

C.1.406 25

D.1.5

C [根据题意知函数的零点在1.406 25至1.437 5之间,又|1.437 5-1.406 25|=0.031 25<0.1,故方程的一个近似解为1.406 25,故选 C.]

4.用二分法求 2x+x=4 在区间[1,2]内的近似解(精度为 0.2).参 考数据:
x 1.125 1.25 1.375 1.5 1.625 1.75 1.875 2x 2.18 2.38 2.59 2.83 3.08 3.36 3.67

[解] 令f(x)=2x+x-4,则f(1)=2+1-4<0,f(2)=22+2-4>0.

区间 区间中点值xn f(xn)的值及符号

(1,2)

x1=1.5

f(x1)=0.33>0

(1,1.5) x2=1.25 f(x2)=-0.37<0

(1.25,1.5) x3=1.375 f(x3)=-0.031<0

∵|1.375-1.5|=0.125<0.2,

∴2x+x=4在[1,2]内的近似解可取为1.375.




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