当前位置: 首页 > >

计数原理数学归纳法随机变量及其分布列(必做部分)模板_图文

第2讲 计数原理、数学归纳法、随机变量及其分布列
真题感悟·考点整合 热点聚焦·题型突破 归纳总结·思维升华 专题训练·对接高考

高考定位 高考对本内容的考查主要有:(1)分类加法计数原 理、分步乘法计数原理,B级要求.(2)排列与组合,B级要 求.(3)数学归纳法的简单应用,B级要求;(4)n次独立重复试验 的模型及二项分布、离散型随机变量的均值与方差,B级要求.
真题感悟·考点整合 热点聚焦·题型突破 归纳总结·思维升华 专题训练·对接高考

[真题感悟] (2014·江苏卷)盒中共有9个球,其中有4个红球、3个黄球和2 个绿球,这些球除颜色外完全相同. (1)从盒中一次随机取出2个球,求取出的2个球的颜色相同的 概率P; (2)从盒中一次随机取出4个球,其中红球、黄球、绿球的个 数分别记为x1,x2,x3,随机变量X表示x1,x2,x3中的最大 数,求X的概率分布和数学期望E(X).
真题感悟·考点整合 热点聚焦·题型突破 归纳总结·思维升华 专题训练·对接高考

解 (1)取到的 2 个颜色相同的球可能是 2 个红球、2 个黄球或 2 个绿球,所以 P=C24+CC2329+C22=6+336+1=158. (2)随机变量 X 所有可能的取值为 2,3,4. {X=4}表示的随机事件是“取到的 4 个球是 4 个红球”,故 P(X =4)=CC4449=1126; {X=3}表示的随机事件是“取到的 4 个球是 3 个红球和 1 个其他 颜色的球,或 3 个黄球和 1 个其他颜色的球”, 故 P(X=3)=C34C15+C94C33C16=201+ 266=1633;
真题感悟·考点整合 热点聚焦·题型突破 归纳总结·思维升华 专题训练·对接高考

于是 P(X=2)=1-P(X=3)-P(X=4)=1-1633-1126=1114.

所以随机变量 X 的概率分布如下表:

X2 3 4

P

11 14

13 63

1 126

因此随机变量 X 的数学期望

E(X)=2×1114+3×1633+4×1126=290.

真题感悟·考点整合 热点聚焦·题型突破 归纳总结·思维升华 专题训练·对接高考

[考点整合] 1.两种计数原理
分类计数原理和分步计数原理. 2.排列
(1)排列的定义;(2)排列数公式:Amn =n(n-1)(n-2)…(n-m +1)=?n-n!m?!(m≤n,m,n∈N*).
真题感悟·考点整合 热点聚焦·题型突破 归纳总结·思维升华 专题训练·对接高考

3.组合

(1)组合的定义;

(2)













C

m n



n?n-1??n-2?…?n-m+1? m!



m!?nn! -m?!(m≤n,m,n∈N*).

(3)组合数性质:Cmn =Cnn-m;Cmn +Cmn -1=Cmn+1.

真题感悟·考点整合 热点聚焦·题型突破 归纳总结·思维升华 专题训练·对接高考

4.数学归纳法 运用数学归纳法证明命题要分两步,第一步是归纳奠基(或 递推基础)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立,第二步 是归纳递推(或归纳假设)假设n=k(k≥n0,k∈N*)时命题成 立,证明当n=k+1时命题也成立,只要完成这两步,就可 以断定命题对从n0开始的所有的正整数都成立,两步缺一不 可.
真题感悟·考点整合 热点聚焦·题型突破 归纳总结·思维升华 专题训练·对接高考

5.概率、随机变量及其分布 (1)离散型随机变量及其概率分布的表示: ①离散型随机变量:所有取值可以一一列出的随机变量叫做 离散型随机变量; ②离散型随机变量概率分布的表示法:概率分布列和概率分 布表; 性质:1°pi≥0(i=1,2,3,…,n);2°p1+p2+p3+…+pn=1.
真题感悟·考点整合 热点聚焦·题型突破 归纳总结·思维升华 专题训练·对接高考

(2)特殊的概率分布列:①0-1 分布(两点分布)符号表示:X~0 -1 分布; ②超几何分布:1°符号表示:X~H(n,M,N); 2°概率分布列:X~H(r;n,M,N)=P(X=r)=CrMCCNMnN--rM; ③二项分布(又叫独立重复试验,伯努利试验):1°符号表示:X~ B(n,p);2°概率分布列:P(X=k)=Cknpk(1-p)n-k. 注意:P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+…+P(X=r)+…+P(X=n) =1.
真题感悟·考点整合 热点聚焦·题型突破 归纳总结·思维升华 专题训练·对接高考

热点一 与计数原理有关的问题 例 1 (2011·江苏卷)设整数 n≥4,P(a,b)是平面直角坐标系 xOy
中的点,其中 a,b∈{1,2,3,…,n},a>b. (1)记 An 为满足 a-b=3 的点 P 的个数,求 An; (2)记 Bn 为满足13(a-b)是整数的点 P 的个数,求 Bn. 解 (1)点P的坐标满足条件1≤b=a-3≤n-3,所以An=n -3. (2)设k为正整数,记fn(k)为满足条件以及a-b=3k的点P的个 数,只要讨论fn(k)≥1的情形.
真题感悟·考点整合 热点聚焦·题型突破 归纳总结·思维升华 专题训练·对接高考

由 1≤b=a-3k≤n-3k 知 fn(k)=n-3k,且 k≤n-3 1,设 n-1=

m

m

3m+r,其中 m∈N*,r∈{0,1,2},则 k≤m,所以 Bn=∑fn(k)=∑

k=1

k=1

(n-3k)=mn-3m?m2+1?=m?2n-23m-3?,

将 m=n-31-r代入上式,化简得 Bn=?n-1?6?n-2?-r?r-6 1?,所

以 Bn=???????n?n?n-6-13?6??n,-n32是?,整n3数不,是整数.

真题感悟·考点整合 热点聚焦·题型突破 归纳总结·思维升华 专题训练·对接高考

规律方法 此计数原理问题中要计算点的个数,因此要根据条 件对正整数的取值进行分类,弄清可能的取值类别,再根据加 法原理进行计算.
真题感悟·考点整合 热点聚焦·题型突破 归纳总结·思维升华 专题训练·对接高考

训练1 (2012·江苏卷)设集合Pn={1,2,…,n},n∈N*.记f(n)为 同时满足下列条件的集合A的个数:①A?Pn;②若x∈A,则 2x?A;③若x∈?PnA,则2x??PnA. (1)求f(4); (2)求f(n)的解析式(用n表示). 解 (1) 当 n = 4 时 , 符 合 条 件 的 集 合 A 为 : {2} , {1,4} , {2,3},{1,3,4},故f(4)=4. (2) 任 取 偶 数 x∈Pn , 将 x 除 以 2 , 若 商 仍 为 偶 数 , 再 除 以 2,…,经过k次以后,商必为奇数,此时记商为m,于是x =m·2k,其中m为奇数,k∈N*.
真题感悟·考点整合 热点聚焦·题型突破 归纳总结·思维升华 专题训练·对接高考

由条件知,若 m∈A,则 x∈A?k 为偶数;

若 m?A,则 x∈A?k 为奇数.

于是 x 是否属于 A 由 m 是否属于 A 确定.设 Qn 是 Pn 中所有奇 数的集合,因此 f(n)等于 Qn 的子集个数.当 n 为偶数(或奇数) 时,Pn 中奇数的个数是n2????或n+2 1????,

所以 f(n)=??2 ?2

,n为偶数, ,n为奇数.

真题感悟·考点整合 热点聚焦·题型突破 归纳总结·思维升华 专题训练·对接高考

热点二 数学归纳法的应用 例 2 (2014·江苏卷)已知函数 f0(x)=sinx x(x>0),设 fn(x)为 fn-1(x)的
导数,n∈N*. (1)求 2f1???π2???+π2f2???π2???的值; (2)证明:对任意的 n∈N*,等式|nfn-1???π4???+π4fn???π4???|= 22都成立.
真题感悟·考点整合 热点聚焦·题型突破 归纳总结·思维升华 专题训练·对接高考

(1)解 由已知,得 f1(x)=f′0(x)=???sinx x???′=coxs x-sixn2 x,

于是

f2(x)



f′1(x)



?cos

? ?

x

x?
? ?





?sin

? ?

x2

x?
? ?







sin x

x



2cos x2

x



2sin x3

x,

所以 f1???π2???=-π42,f2???π2???=-2π+1π63,

故 2f1???π2???+π2f2???π2???=-1.

真题感悟·考点整合 热点聚焦·题型突破 归纳总结·思维升华 专题训练·对接高考

(2)证明 由已知,得 xf0(x)=sin x,等式两边分别对 x 求导,得 f0(x)+xf′0(x)=cos x,即 f0(x)+xf1(x)=cos x=sin???x+π2???,类似可 得 2f1(x)+xf2(x)=-sin x=sin(x+π), 3f2(x)+xf3(x)=-cos x=sin???x+32π???, 4f3(x)+xf4(x)=sin x=sin???x+2π???. 下面用数学归纳法证明等式 nfn-1(x)+xfn(x) =sin???x+n2π???对所有的 n∈N*都成立.
真题感悟·考点整合 热点聚焦·题型突破 归纳总结·思维升华 专题训练·对接高考

(ⅰ)当 n=1 时,由上可知等式成立. (ⅱ)假设当 n=k 时等式成立,即 kfk-1(x)+xfk(x)=sin???x+k2π???. 因为[kfk-1(x)+xfk(x)]′=kf′k-1(x)+fk(x)+xf′k(x)=(k+1)fk(x) +xfk+1(x),???sin???x+k2π??????′=cos???x+k2π???·???x+k2π???′=sin????x+?k+21?π????, 所以(k+1)fk(x)+xfk+1(x)=sin????x+?k+21?π????. 因此当 n=k+1 时,等式也成立.
真题感悟·考点整合 热点聚焦·题型突破 归纳总结·思维升华 专题训练·对接高考

综合(ⅰ),(ⅱ)可知等式 nfn-1(x)+xfn(x) =sin???x+n2π???对所有的 n∈N*都成立. 令 x=π4,可得 nfn-1???π4???+π4fn???π4??? =sin???π4+n2π???(n∈N*). 所以???nfn-1???π4???+π4fn???π4??????= 22(n∈N*).
真题感悟·考点整合 热点聚焦·题型突破 归纳总结·思维升华 专题训练·对接高考

规律方法 在数学归纳法中,归纳奠基和归纳递推缺一不 可.在较复杂的式子中,注意由n=k到n=k+1时,式子中项数 的变化应仔细分析,观察通项.同时还应注意,不用假设的证 法不是数学归纳法.
真题感悟·考点整合 热点聚焦·题型突破 归纳总结·思维升华 专题训练·对接高考

训练 2 (2013·江苏卷)设数列{an}:1,-2,-2,3,3,3,-4,-4, -4,-4,…,(-1)k-1k,…,(-1)k-1k,…,即当?k-21?k <n≤k?k+2 1?(k∈N*)时,an=(-1)k-1k,记 Sn=a1+a2+…+an(n ∈N*).对于 l∈N*,定义集合 Pl={n|Sn 是 an 的整数倍,n∈ N*,且 1≤n≤l}. (1)求集合 P11 中元素的个数; (2)求集合 P2 000 中元素的个数.
真题感悟·考点整合 热点聚焦·题型突破 归纳总结·思维升华 专题训练·对接高考

解 (1)由数列{an}的定义得a1=1,a2=-2,a3=-2,a4=3, a5=3,a6=3,a7=-4,a8=-4,a9=-4,a10=-4,a11= 5,所以S1=1,S2=-1,S3=-3,S4=0,S5=3,S6=6,S7= 2,S8=-2,S9=-6,S10=-10,S11=-5,从而S1=a1,S4= 0×a4,S5=a5,S6=2a6,S11=-a11,所以集合P11中元素的个数 为5. (2)先证:Si(2i+1)=-i(2i+1)(i∈N*). 事实上,①当i=1时,Si(2i+1)=S3=-3,-i(2i+1)=-3,故原 等式成立;
真题感悟·考点整合 热点聚焦·题型突破 归纳总结·思维升华 专题训练·对接高考

②假设 i=m 时成立,即 Sm(2m+1)=-m(2m+1),则 i=m+1 时 , S(m+1)(2m+3)=Sm(2m+1)+(2m+1)2-(2m+2)2=-m(2m+1)-4m-3 =-(2m2+5m+3)=-(m+1)(2m+3). 综合①②可得,Si(2i+1)=-i(2i+1).于是 S(i+1)(2i+1)=Si(2i+1)+(2i+1)2=-i(2i+1)+(2i+1)2=(2i+1)(i+ 1).
真题感悟·考点整合 热点聚焦·题型突破 归纳总结·思维升华 专题训练·对接高考

由上可知Si(2i+1)是2i+1的倍数,而ai(2i+1)+j=2i+1(j=1,2,…, 2i+1),所以Si(2i+1)+j=Si(2i+1)+j(2i+1)是ai(2i+1)+j(j=1,2,…, 2i+1)的倍数.又S(i+1)(2i+1)=(i+1)·(2i+1)不是2i+2的倍数, 而a(i+1)(2i+1)+j=-(2i+2)(j=1,2,…,2i+2),所以S(i+1)(2i+1)+j =S(i+1)(2i+1)-j(2i+2)=(2i+1)(i+1)-j(2i+2)不是a(i+1)(2i+1)+j(j =1,2,…,2i+2)的倍数,故当l=i(2i+1)时,集合Pl中元素的 个数为1+3+…+(2i-1)=i2,于是,当l=i(2i+1)+j(1≤j≤2i +1)时,集合Pl中元素的个数为i2+j. 又2 000=31×(2×31+1)+47,故集合P2 000中元素的个数为312 +47=1 008.
真题感悟·考点整合 热点聚焦·题型突破 归纳总结·思维升华 专题训练·对接高考

热点三 离散型随机变量的分布列及其数学期望 例3 (2014·潍坊模拟)某次数学测验共有10道选择题,每道题共
有四个选项,且其中只有一个选项是正确的,评分标准规 定:每选对1道题得5分,不选或选错得0分.某考生每道题 都选并能确定其中有6道题能选对,其余4道题无法确定正确 选项,但这4道题中有2道题能排除两个错误选项,另2道只 能排除一个错误选项,于是该生做这4道题时每道题都从不 能排除的选项中随机选一个选项做答,且各题做答互不影 响. (1)求该考生本次测验选择题得50分的概率; (2) 求 该 考 生 本 次 测 验 选 择 题 所 得 分 数 的 分 布 列 和 数 学 期 望.
真题感悟·考点整合 热点聚焦·题型突破 归纳总结·思维升华 专题训练·对接高考

解 (1)设选对一道“能排除 2 个选项的题目”为事件 A,选对一 道“能排除 1 个选项的题目”为事件 B,则 P(A)=12,P(B)=13. 该考生选择题得 50 分的概率为: P(A)·P(A)·P(B)·P(B)=???12???2·???13???2=316. (2)考生所得分数 X=30,35,40,45,50. P(X=30)=???12???2·???1-13???2=19; P(X=35)=C12???12???2·???23???2+???12???2·C12·13·23=13;
真题感悟·考点整合 热点聚焦·题型突破 归纳总结·思维升华 专题训练·对接高考

P(X=40)=???12???2·???23???2+C12·???12???2·C12·13·23+???12???2·???13???2=1336; P(X=45)=C12???12???2·???13???2+???12???2·C12·13·23=16; P(X=50)=???12???2·???13???2=316. 所以,该考生所得分数 X 的分布列为

X 30 35 40 45 50

P

1 9

1 13 1 1 3 36 6 36

∴E(X)=30×19+35×13+40×1336+45×16+50×316=1135.

真题感悟·考点整合 热点聚焦·题型突破 归纳总结·思维升华 专题训练·对接高考

规律方法 求解一般的随机变量的期望和方差的基本方法是: 先根据随机变量的意义,确定随机变量可以取哪些值,然后根 据随机变量取这些值的意义求出取这些值的概率,列出分布 列,根据数学期望和方差的公式计算.
真题感悟·考点整合 热点聚焦·题型突破 归纳总结·思维升华 专题训练·对接高考

训练3 (2014·苏北四市模拟)学校游园活动有这样一个游戏项 目:甲箱子里装有3个白球,2个黑球,乙箱子里装有1个白 球,2个黑球,这些球除颜色外完全相同.每次游戏从这两 个箱子里各随机摸出2个球,若摸出的白球不少于2个,则获 奖(每次游戏结束后将球放回原箱) (1)求在一次游戏中 ①摸出3个白球的概率;②获奖的概率. (2)求在两次游戏中获奖次数X的分布列及数学期望E(X).
真题感悟·考点整合 热点聚焦·题型突破 归纳总结·思维升华 专题训练·对接高考

解 (1)①设“在 1 次游戏中摸出 i 个白球”为事件 Ai(i=0,1,2,3), 则 P(A3)=CC2325·CC1223=15. ②设“在 1 次游戏中获奖为事件 B”则 B=A2∪A3, 又 P(A2)=CC2325·CC2223+CC13·C52 12·CC1223=12,且 A2,A3 互斥, 所以 P(B)=P(A2)+P(A3)=12+15=170. (2)由题意可知 X 的所有可能取值为 0,1,2. P(X=0)=???1-170???2=1900;
真题感悟·考点整合 热点聚焦·题型突破 归纳总结·思维升华 专题训练·对接高考

P(X=1)=C12???1-170???170=2510;

P(X=2)=???170???2=14090. 所以 X 的分布列是

X0 1 2

P

9 100

21 50

49 100

X 的数学期望是 E(X)=0×1900+1×2510+2×14090=75.

真题感悟·考点整合 热点聚焦·题型突破 归纳总结·思维升华 专题训练·对接高考

1.分类加法计数原理和分步乘法计数原理 如果每种方法都能将规定的事件完成,则要用分类加法计数原
理将方法种数相加;如果需要通过若干步才能将规定的事件 完成,则要用分步乘法计数原理将各步的方法种数相乘. 2.数学归纳法主要是用来解决与自然数有关的命题.通常与数 列、不等式证明等基础知识和基本技能相结合来考查逻辑推 理能力,要了解数学归纳法的原理,并能加以简单的应用. 3.离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围 内各个值的概率之和.
真题感悟·考点整合 热点聚焦·题型突破 归纳总结·思维升华 专题训练·对接高考

4.求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为: 第一步是“判断取值”,即判断随机变量的所有可能取值, 以及取每个值所表示的意义; 第二步是“探求概率”,即利用排列组合、枚举法、概率公 式(常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概 率和公式、独立事件的概率积公式,以及对立事件的概率公 式)等,求出随机变量取每个值时的概率;
真题感悟·考点整合 热点聚焦·题型突破 归纳总结·思维升华 专题训练·对接高考

第三步是“写分布列”,即按规范形式写出分布列,并注意用 分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确; 第四步是“求期望值”,一般利用离散型随机变量的数学期望 的定义求期望的值.
真题感悟·考点整合 热点聚焦·题型突破 归纳总结·思维升华 专题训练·对接高考

点击此处进入
真题感悟·考点整合 热点聚焦·题型突破 归纳总结·思维升华 专题训练·对接高考




友情链接: year2525网 工作范文网 QS-ISP 138资料网 528200 工作范文网 baothai 表格模版