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高中数学必修4教学设计(任意角等38份) 人教课标版14(优秀教案)

教学目标: .能正确分析收集到的数据,选择恰当的函数模型刻画数据所蕴含的规律,能
根据问题的实际意义,利用模型解释有关实际问题. .体验一些具有周期性变化规律的实际问题的数学“建模”思想,从而培养学
生的建模、分析问题、数形结合、抽象概括等能力. .培养学生用已有的知识解决实际问题的能力,培养学生数学应用意识.
教学重点: 对问题实际意义的数学解释,从实际问题中抽象出三角函数模型,用
函数思想解决具有周期变化的实际问题. 教学难点:
()分析、整理、利用信息,从实际问题中抽象出三角函数模型. ()由图象求解析式时? 的确定.
教学过程: 一、复习提问 . 函数 y ? 1 sin x 图像上每一点纵坐标不变,横坐标伸长为原来的倍,再向左 2
平移 π 个单位,求所得函数图象的解析式. 2 .函数 y ? Asin(?x ??),(A ? 0, ? ? 0, |? |? ? ) 的最小值是-,其图象最高点与最低 2
点横坐标差是?,且图象过点(),求函数解析式. .讨论:如何由图观察得到三角函数的各系数? 如何确定初相?
二、研探新知 例(学生自学)一半径为 3cm 的水轮如图 1-3-22 所示,水轮圆心 O 距离水面
2cm,已知水轮每分钟转动圈,如果当水轮上点从水中浮现时(图中 P0 点)开始计 算时间.

()将点 P 距离水面的高度 z(cm) 表示为时间
t(s) 的函数;
()点 P 第一次到达最高点大约要多长时间? (例是一个有关圆周运动的问题,是现实生活中 的周期问题,可以运用三角函数模型来解决(具体地 可以借助图形计算器或计算机来画图求解).由此可见,三角函数是描述周期现象 的重要数学模型. 教师进行适当的评析.并回答下列问题:根据物理常识,应选择怎样的函数式 模拟物体的运动;怎样求,?和初相位? ?) 例海水受日月的引力,在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐,一般的早潮叫 潮,晚潮叫汐.在通常的情况下,船在涨潮时驶进航道,靠近船坞;卸货后落潮时 返回海洋.下面给出了某港口在某季节每天几个时刻的水深.
时间 水深 ()选用一个三角函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系,并给 出在整点时的近似数值. ()一条货船的吃水深度(船底与水面的距离)为米,安全条例规定至少要 有 1.米的安全间隙(船底与海底的距离),该船何时能进入港口?在港口能呆多 久? ()若船的吃水深度为米,安全间隙为 1.米,该船在:开始卸货,吃水深度 以每小时.米的速度减少,那么该船在什么时间必须停止卸货,将船驶向较深的水 域? 【问题】 .请同学们仔细观察表格中的数据,你能够从中得到一些什么信息?应该选 择怎样的数学模型反映该实际问题? 小组合作发现,代表发言,可能结果: ()水深的最大值是米,最小值是米. ()水的深度开始由米增加到米,后逐渐减少一直减少到,又开始逐渐变深,

增加到米后,又开始减少. ()水深变化并不是杂乱无章,而是呈现一种周期性变化规律. () 学生活动:作图——更加直观明了这种周期性变化规律.

()教师呈现作图结果,学生小组代表发言,跟我们前面所学过哪个函数类 型非常的类似?

.根据正弦型函数 y ? Asin(?x ? ?) ? b ,回答下列问题.

()图表中的最大值与三角函数的哪个量有关?

()函数的周期为多少?

()“吃水深度”对应函数中的哪个字母?

. 学生活动,求解析式

==,=,==,ω=,φ=

∴=+

为了保证所选函数的精确性,通常还需要一个检验过程.

教师应该点明:建模过程——选模、求模、验模、应用.

【问题】

(师生一起分析)水深 ? 5.5 米得出 2.5sin ? x ? 5 ? 5.5 ,即 sin ?x ? 0.2 ,

6

6

(讨论)解三角不等式 sin ?x ? 0.2 的方法 6

令 sin ?x ? 0.2 学生活动:操作计算器计算 ?x ? 0.2014, x ? 0.3848, 结合电脑

6

6

呈现图象.

发现:在[,]范围内,方程 sin ?x ? 0.2 的解一共有个,从小到大依次记为:,,,, 6
那么其他三个值如何求得呢?(留给学生思考) ≈-=,≈+=,≈+= 得到了个交点的横坐标值后,结合图象说说货船应该选择什么时间进港?什
么时间出港呢? (过渡语)刚才整个过程,货船在进港,在港口停留,到后来离开港口,货
船的吃水深度一直没有改变,也就是说货船的安全深度一直没有改变,但是实际 情况往往是货船载满货物进港,在港口卸货,在卸货的过程中,由物理学的知识 我们知道,随着船身自身重量的减小,船身会上浮,这样一来当两者都在改变的 时候,我们又该如何选择进出港时间呢?请看下面问题:
【问题】 (学生讨论)安全即需要:实际水深≥安全水深,即:
+≥-(-) 讨论求解方法:用代数的方法?几何的角度?(电脑作图并呈现)
通过图象可以看出,当快要到时刻的时候,货船就要停止卸货,驶向深水 区.那么点的坐标如何求得呢?(学生思考,讨论,交流)求点横坐标即解方程+ =-(-)(数形结合,根据函数图象求近似解).
从这个问题可以看出,如果有时候时间控制不当,货船在卸货的过程中,就 会出现货还没有卸完,不得已要暂时驶离港口,进入深水区,等水位上涨后再驶 回来.这样对公司来说就会造成才力、物力上的巨大浪费?那该怎么来做 呢? (可以加快卸货速度,也就是加快安全深度下降速度)
三、数学应用 .如图,单摆从某点给一个作用力后开始来回摆动,离 开平衡位置的距离厘米和时间秒的函数关系为

s ? 6sin(2πt ? π) . 6
()单摆摆动秒时,离开平衡位置厘米. ()单摆摆动时,从最右边到最左边的距离为厘米. ()单摆来回摆动次所需的时间为秒.

.如图,某地一天从~时的温度变化曲线近似满足函数 y ? Asin(?x ? ?) ? b .
T / ?C
()求这一天~时的最大温差; 30

()写出这段曲线的函数解析式.

20

.某港口水深(米)是时间(≤≤,单位:小时)的函数10,记为= f (t) ,下面

是某日水深数据:

O

6 8 10 12 14 t / h

(时)

(米)

经过长期观察, f (t) 的曲线可以近似看成= ? +的图象.

()根据以上数据求出= f (t) 的近似表达式;

()船底离海底米或者米以上是安全的,某船的吃水深度为米(船底离水面

距离),如果此船在凌晨点进港,希望在同一天安全出港,那么此船最多在港口停

留多少时间?

(从表中读到一些什么数据? → 依次求各系数 → 应用模型解决问题)

答案: y ? 3sin ?t ?10 (≤≤); (小时)). 6

【反思】.如何根据 y ? Asin(?x ? ?) ? b 图象求解析式中的待定参数 A,b,?,?.

.探索? 的各种求法(这是本题的关键!也是难点!)(用最大、最小值点代入
不容易出现错误) 四、小结
三角函数知识在解决实际问题中有着十分广泛的应用,待定系数法是三角函 数中确定函数解析式最重要的方法.
三角函数应用模型的三种模式:一是给定呈周期变化规律的三角函数模型, 根据所给模型,结合三角函数的性质,解决一些实际问题;二是给定呈周期变化 的图象,利用待定系数法求出函数模型,再解决其他问题;三是搜集一个实际问

题的调查数据,根据数据作出散点图,通过拟合函数图象,求出可以近似表示变 化规律的函数模型,进一步用函数模型来解决问题.
回顾整个探究过程,经历了: 第一阶段:收集数据——画散点图; 第二阶段:根据图象特征——选模、求模、验模; 第三阶段:函数模型应用.
学习是一件增长知识的工作,在茫茫的学海中,或许我们困苦过,在艰难的竞争中,或许我们疲劳过,在失败的阴影中,或许我们失望过。但我们发现自己的知识在慢慢的增长,从哑哑学语的婴 儿到无所不能的青年时,这种奇妙而巨大的变化怎能不让我们感到骄傲而自豪呢?当我们在学习中遇到困难而艰难的战胜时,当我们在漫长的奋斗后成功时,那种无与伦比的感受又有谁能表达出 来呢?因此学习更是一件愉快的事情,只要我们用另一种心态去体会,就会发现有学习的日子真好! 如果你热爱读书,那你就会从书籍中得到灵魂的慰藉;从书中找到生活的榜样;从书中找到自 己生活的乐趣;并从中不断地发现自己,提升自己,从而超越自己。 明天会更好,相信自己没错的! 我们一定要说积极向上的话。只要持续使用非常积极的话语,就能积累起相关的重要信息, 于是在不经意之间,我们就已经行动起来,并且逐渐把说过的话变成现实。




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